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机械制图教程—3-2点的投影变换

  点是一切几何形体的基本元素。因此,在变换投影面时,首先要掌握点的投影变换规律。 一、 点的第一次变换 1. 保留H面变换V面 如图3—3a所示,点A在V/H体系中,正面投影为a′,水平投影为a,保留H面,取一 机械制图教程—3-2点的投影变换 铅垂面V1(V1⊥H)来代替正面V,形成新的两投影面体系V1/H。过点A向V1面作垂线(投射线)并与V1面相交,得到新投影面V1上的投影a′1。这样,点A在新、旧两投影面体系中的投影(a、a′和a、a′1)都为已知。其中a′1为点A在新的V1面上的投影,a′为被替换的V面的旧投影,a为新、旧两投影体系中共有的不变投影。它们之间有下列关系: (1)由于这两个投影面体系具有公共的被保留的投影面H,点A到H面的距离(即Z坐标)在新、旧两投影面体系中都是相同的,即a ′ax=Aa=a′1ax1。 (2)当V1面绕X1轴旋转展开到与H面成一个平面时,根据点的投影规律可知,a a′1必垂直与X1轴。这和a ′a⊥X轴的性质相同。 2.保留V面变换H面 如图3—4所示,取正垂面H1来代替H面,H1面和V面构成新的两投影面体系V/ H1,求出点A的新投影a1。因新、旧两体系具有公共的V面,因此,也有下列关系: (1)a1 ax1=Aa ′=aax; 机械制图教程—3-2点的投影变换 (2)a′a1⊥X1轴。 3.点的投影变换规律 由图3—3、图3—4可知,变换任何一个投影面,而被保留的一个投影面是新、旧两投影面体系中的公共投影面,点在新、旧两投影面体系中必有一个坐标是不变的。由此可以得出点的投影变换规律: (1)点的新投影和被保留的投影连线必垂直于新投影轴。 (2)点的新投影到新投影轴的距离,等于被替换的点的旧投影到旧投影轴的距离。 按点的投影变换规律,可得出求点的新投影的作图方法,也就是投影变换的基本作图法: (1)如图3—3c、图3—4b所示,在按实际需要确定新投影轴以后,由所保留的点的投影作垂直于新投影轴的投影连线。 (2)在投影连线上,从新投影轴向新投影面一侧量取一段距离,等于点被替换的投影至被替换的投影轴(旧投影轴)之间的距离,即得出该点所求的新投影。 二、点的两次变换 运用换面法解决实际问题时,变换一次投影面有时不足以解决问题,需要连续变换两次或多次。图3—5a、b表示两次变换时,点A的直观图及其投影图。 两次或多次变换时,求点的新投影方法、作图原理与变换一次投影面相同。 机械制图教程—3-2点的投影变换 必须强调的是:在变换投影面时,每次新投影面的选择都必须符合前面所述的两个条件;而且不能一次变换两个投影面,必须在变换完一个投影面之后,在新的两投影面体系中,依次交替地再变换另一个投影面(前次被保留的投影面)。第一次换面的旧投影轴指的是原体系中的X轴;而第二次换面时所用的新投影轴,即X1轴。多次换面,以次类推。第一次、第二次变换时的新投影面、新投影轴和新投影的字母符号都分别加注下标1、2,更多次的变换也以次类推。